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" Le but de cet exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies par :

et sur l'intervalle

1./ Montrer que f(x) supérieur ou égal à 0 et g(x) supérieur ou égal à 0 pour tout x appartenant à l'intervalle ci-dessus
2./ Calculer (f(x))² et (g(x))²
3./ Démontrer que (f(x))² inférieur ou égal à (g(x))²
4./ En déduire une comparaison de f et g sur l'intervalle ci-dessus
5./ Tracer sur un même repère les représentations graphiques de f et g sur l'intervalle ci-dessus "


Je souhaite obtenir des explications sur cet exercices car je ne vois pas comment le faire et je ne souhaite en aucun cas le corrige ou la solution de cet exercices. Merci à vous.

Bonjour Thelovgo,

Pour commencer, voici le graphique de tes deux fonctions (tracé avec notre calculatrice graphique en ligne) :



1). Montrer que f(x) supérieur ou égal à 0 et g(x) supérieur ou égal à 0 pour tout x appartenant à l'intervalle ci-dessus

Pour info,... en ce qui concerne f(x), tu sais que le contenu (argument) d'une racine paire ne peut jamais prendre une valeur négative. Par contre il peut être nul puisque racine carrée de zéro = zéro.

Pour f(x), calcule la valeur de ta fonction pour x = -1. Ensuite calcule la limite de ta fonction pour x tendant vers + infini. Observe les deux réponses obtenue et conclu si oui ou non ta fonction f est positive pour tout x appartenant à l'intervalle donné.

Fais pareil pour g(x).

2). Calculer (f(x))² et (g(x))²

Pour f(x) : le carré d'une racine carrée = l'argument de la racine. Exemple :





Pour g(x), applique le produit remarquable bien connu :

Ici ton b sera x/2 et ton a sera 1.

3). Démontrer que (f(x))² inférieur ou égal à (g(x))²

Ici tu dois prendre le résultat obtenu pour g et f en 2). Ensuite pose-toi la question suivante : "pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle donné, c'est le carré de f(x) ou le carré de g(x) qui est le plus grand ?".
Exemple: Si le carré de f(x) était et le carré de g(x) était alors laquelle des deux fonctions au carré serait la plus grande ? Ben facile, g(x) puisque g(x) vaut la même chose que f(x) à une petite différence prêt, on lui ajoute le terme positif .

4°. En déduire une comparaison de f et g sur l'intervalle ci-dessus

Comparer deux fonctions entre elles, cela veut dire calculer leur différence: f(x) - g(x) et voir pour quelles valeurs de x cette différence est-elle positive, négative et nulle. Si la différence f(x) - g(x) est positive, cela signifie que f(x) est plus grand que g(x). Dans le graphe, cela revient à une courbe de f au-dessus de la courbe de g. Tandis que si f(x) - g(x) = 0 cela signifie que la courbe de f est sur la courbe de g. Cela à généralement lieu si deux courbes sont confondues ou lorsqu'une courbe coupe une autre dans le plan.

Voila tout. Si tu as d'autres questions ou si tu souhaites plus de précisions sur un aspect de l'exercice n'hésite pas !

Bon dimanche,
Emmanuel.

Merci beaucoup =)