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 Sujet du message: COMPARAISON DE SUITES
MessagePublié: 23 Sep 2010, 15:07 
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Inscrit le: 23 Sep 2010, 15:04
Messages: 11
Bonjour,

J'aimerais aider ma fille dans l'exercice suivant, mais, à 60 ans passés, la récurrence n'est qu'un lointain souvenir !!!… :


Soit deux suites relles, n appartenant à N, définies par :

U1=13
Un+1=(Un+2Vn)/3 pour n plus grand ou égal à 1
et :
V1=1
Vn+1=(Un+3Vn)/4 pour n plus grand ou égal à 1

Partie B : Récurrence

-Démontrer que pour tout n plus grand ou égal à 1, Un plus grand ou égal à Vn
-En déduire que Un et Vn sont monotones
-Démontrer qu'elles sont bornées par 1 et 13.

Partie C : suites auxiliaires :

-On pose Wn=Vn-Un
Démontrer que Wn est une suite géométrique
Exprimer Wn en fonction de n pour tout n de N

-On poseTn=3Un+8Vn
Démontrer que Tn est constante et préciser sa valeur en fonction de n
En déduire les expressions de Un et Vn en fonction de n, préciser les limites de Un et Vn.



Dans la partie A, on il était demandé de calculer les 4 premiers termes :

U2= 5, U3=4,33, U4=4,28

V2=4, V3=4,25 V4=4,27

Et de conjecturer :sens de variation, majorant, minorant, comparaison, limites
(pouvez-vous également m'éclairer sur majorant, minorant et comparaison !!)

Partie B :
Démontré pour n=1 (U2=5, et V2=4), puis l'idée m'est venue d'utiliser Un+2 et Vn+2, en fonction de Un et Vn pour démontrer l'hérédité, mais impossible d'aboutir au résultat demandé !

Partie C : en cours dinvestigation, mais pistes floues..!!!


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 Sujet du message: Re: COMPARAISON DE SUITES
MessagePublié: 23 Sep 2010, 16:26 
Hors-ligne
Site Admin

Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
Bonjour Tatave94,

Voici deja un élément de réponse pour la premiere question de la partie B:

Vous disposez de deux armes pour démontrer qu'une suite réelle est plus grande (ou plus petite) qu'une autre: la division ou la soustraction d'une suite par l'autre.

En effet, soit deux nombres réels A et B, si A/B > 1 alors A > B.
Ou, et ca marche aussi, si A - B > 0, alors A > B.

J'ai déjà essayé la technique de la division pour la démonstration qui nous concerne, et cela ne m'a guère séduit. Je vous propose donc de tenter la méthode de la soustraction:

Un+1 moins Vn+1 :



Mise au même dénominateur --> le plus petit dénominateur commun = 4x3 = 12 :
je multiplie donc le numérateur de la fraction de gauche par 4 et le numérateur de celle de droite par 3.
Puis je distribue.





Si vous parvenez à démontrer que (Un-Vn)/12 > 0 pour tout n alors vous aurez démontré que Un > Vn.

Essayez de développer deja cela avec votre fille.

Je vous fournirai plus de détails dans la soirée si mon emploi du temps me le permet.

Peut-être a tout a l'heure,
Emmanuel.

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 Sujet du message: Re: COMPARAISON DE SUITES
MessagePublié: 23 Sep 2010, 17:19 
Hors-ligne

Inscrit le: 23 Sep 2010, 15:04
Messages: 11
Oui, j'en étais à ce stade également, mais comment montrer que (Un-Vn)/12 est positif ? ....


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 Sujet du message: Re: COMPARAISON DE SUITES
MessagePublié: 24 Sep 2010, 15:59 
Hors-ligne
Site Admin

Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
J'ai trouvé une serie de sites webs qui debatent du meme exercice (ou presque), jetez-y un coup d'oeil, des choses interessantes s'y disent :

http://maths-forum.com/printthread.php?t=68359

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-213578.html

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-98497.html

http://www.sur-la-toile.com/discussion- ... entes.html

http://dominique.frin.free.fr/terminale ... dm4cor.pdf

http://math-college.jeun.fr/tle-f16/sui ... -t1194.htm


Ma reponse arrive un peu tard et de plus elle manque carrément de pedagogie mais je n'ai malheureusement pas le temps d'en faire plus ces jours-ci (ayant moi-même un examen a presenter prochainement)


Bonne journée,

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 Sujet du message: Re: COMPARAISON DE SUITES
MessagePublié: 24 Sep 2010, 16:27 
Hors-ligne

Inscrit le: 23 Sep 2010, 15:04
Messages: 11
Bonsoir,
Super !!!, oui, ces liens me suffisent, un grand merci et bon courage pour votre exam'.


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