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 Sujet du message: étude de fonction, asymptote oblique, horizontale, verticale
MessagePublié: 03 Nov 2010, 14:39 
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Inscrit le: 02 Nov 2010, 14:26
Messages: 24
Bonjour Emmanuel,

Je suis en train de revoir actuelement car j'ai un examen lundi soir.

J'ai plusieurs questions pour le moment, l'une sur les études de fonctions et 2 autres sur des problèmes d'optimisation:

Voici la première, je fais un exercice sur les études de fonctions dont l'équation est la suivante:


Je trouve le domaine, je trouve les variations f'x) et f''(x).
Je n'ai pas d'A.V. car pas de dénominateur.
J'ai une A.H. en +infini et - infini] donc pas d'A.H.
Et je calcule mon A.O. mais je bloque, pour trouver mon "m" dans (y=mx+p)



J'ai un cas d'indétermination en infini/infini, mais si je prends les termes du plus haut degré, ca ne fonctionne pas... comment dois-je faire?

Pouvez-vous me donner des exercices d'études de fonctions avec possibilités d'avoir les réponses?

Pour les problèmes d'optimisation, je n'arrive pas à commencer 2 de mes exercices:
Le 1er :On me demande les points de l'élipse qui à pour équation
qui sont les + éloignés de (1,0)

J'ai une élipse avec la partie supérieure jusqu' 2 et la partie inférieure jusqu'à -2 et dans la partie positive, f1 à pr équation et f2 à pr équation
Je n'arrive à rien avec cet exercice :cry:
J'espère que l'énoncé est clair :P sinon je reformulerai

Pour le 2ième: C'est comment construire un cylindre inscrit à une sphère de rayon R pour que son volume soit maximum?

J'espère que toutes mes équations sont bien écrites ;)
Un grand merci, bonne après-midi,

Lionel

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 Sujet du message: Re: Questions études de fonctions + problèmes d'optimisation
MessagePublié: 03 Nov 2010, 19:50 
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Inscrit le: 02 Nov 2010, 14:26
Messages: 24
Bonjour Emmanuel,

J'ai une autre petite question sur les études de fonctions, je fais des exercices, mais quelques fois, il ne faut pas aller plus loin que la dérivé seconde (des exercices sont résolus uniquement avec la dérivée première) comment savoir jusqu'où je dois aller?
Dans mon cours je n'ai que des exemples avec les 2 types de dérivées, pour moi je le faisais chaque fois car cela me sert à connaitre la concavité de ma courbe non?

Merci,

Lionel


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 Sujet du message: Re: Questions études de fonctions + problèmes d'optimisation
MessagePublié: 03 Nov 2010, 23:49 
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Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
Bonsoir Lionel,

Je vais répondre à tes questions dans l'ordre et dans trois posts séparés si tu veux bien.

Commençons par le début, le calcul de ton asymptote oblique.

* 1. Démonstration de la formule de l'asymptote oblique A.O : y = mx + p (pour info)

Prenons pour exemple le graphique suivant :

Image

En rouge la fonction f(x), en bleu l'asymptote oblique d'équation y = mx + p.

Tu vois que à mesure que x augmente (ou diminue), la courbe rouge f(x) se rapproche de plus en plus de son asymptote bleue. On dit que la courbe atteindra l'asymptote que lorsque x vaudra plus l'infini (ou moins l'infini) et alors la courbe f(x) et l'asymptote seront confondues. Ca veut dire que pour x tendant vers +/-infini, l'équation de l'asymptote oblique et l'équation de la courbe f(x) sont identiques. Dans ce cas,

donc si , alors f(x) - (mx + p) = 0.

En effet, lorsque la courbe et l'asymptote sont confondues, donc en x tend vers +/-infini, la soustraction des 2 équations (celle de f(x) et celle de l'asymptote) doit donner zéro.

Donc, s'il existe bien une A.O, je puis dire:





Je divise à présent le membre de gauche et le membre de droite par x. J'obtiens alors



Or la limite de p/x pour x tendant vers +/-infini = 0, j'obtiens donc



Connaissant le coefficient angulaire m de l'équation de notre asymptote oblique, nous pouvons maitenant trouver le terme indépendant p.

Nous avons vu plus haut que



Donc



* 2. Comment calculer l'équation de l'A.O de ton exercice ?



A.O : y = mx + p



C'est ici que nous devrons être astucieux ! Habituellement nous mettons le terme du plus haut degré en facteur. Chez nous le terme du plus haut degré c'est le x carré dans la racine. Eh bien cette fois-ci nous allons ruser en mettant en facteur dans la racine (tu as bien lu, x cube !).



Je ne t'en dis pas plus pour le moment. Propose-moi une solution finale avec ton raisonnement.

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 Sujet du message: Re: étude de fonction, asymptote oblique, horizontale, verti
MessagePublié: 04 Nov 2010, 01:28 
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Inscrit le: 02 Nov 2010, 14:26
Messages: 24
Hello Emmanuel,

J'ai donc trouvé la limite de
= 1
Pour p c'est assez délicat aussi car j'ai f(x)-mx et donc j'obtiens une limite avec une rac cubique. En utilisant
j'obtiens de nouveau 1 pour p mais pas sûr du tt pr le calcul et si je note très mes équations ici je vs passé ma nuit :D

Mais est-ce correct?

Merci


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 Sujet du message: Re: étude de fonction, asymptote oblique, horizontale, verti
MessagePublié: 04 Nov 2010, 12:26 
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Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
Attention Lionel, tu vas un peu vite en besogne. Reprenons la ou je m'étais arrêté:



Si je sors le x cube de la racine et que je simplifie les x en facteur au numérateur et au dénominateur, j'obtiens




Remarque que si x tends vers +/-infini, alors 1/x, 1/x² et 1/x³ valent tous zéro. Tu es donc entrain de multiplier 1/1 par zéro. Ce qui donne zéro pour résultat. Je te l'aisse conclure. Que vaudra m et p ?

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 Sujet du message: Re: étude de fonction, asymptote oblique, horizontale, verti
MessagePublié: 04 Nov 2010, 13:54 
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Inscrit le: 02 Nov 2010, 14:26
Messages: 24
Hello Emmanuel,

Oui de fait j'ai été trop vite, j'ai bien compris donc
m=0 et p vaudra aussi 0 alors AO à pr équation y = 0 est-ce possible??

Merci,

Lionel


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 Sujet du message: Re: étude de fonction, asymptote oblique, horizontale, verti
MessagePublié: 04 Nov 2010, 14:06 
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Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
m = 0, en effet mais es-tu sur que p vaut zéro également ? Si tel est le cas prouve le moi par un calcul.

Donne moi la valeur de p en utilisant la formule vue plus haut pour le calcul de p.

J'aimerais voir un raisonnement complet si c'est possible.

Bien à toi,

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 Sujet du message: Re: étude de fonction, asymptote oblique, horizontale, verti
MessagePublié: 04 Nov 2010, 14:28 
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Inscrit le: 02 Nov 2010, 14:26
Messages: 24
Enfait ma limite est donc:



-0x donc je ne l'ai pas remis ds l'équation.

En fait j'obtiens:



Il s'agit donc d'un cas infini*0 donc j'en avais conclu 0 mais normalement je pourrai prendre le terme du plus haut degré soit x et cela me donerait +infini pour la lim en + infini et - infini pr la limite en -infini.

Mais pas sûr du tout... et si il s'agit de la bonne réponse qu'est ce que cela signifie au point de vue du graphique que AO à pour équation y = +/- infini? j'ai jamais vu cela...

Désolé pour l'écriture des équations mais j'ai pas le temps de trop m'attarder sur cela car j'ai encore de la matière à voir... mais pour la prochaine fois je vais étudier la façon d'écrire les équations :) sorry...
Merci Emmanuel,

Lionel


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 Sujet du message: Re: étude de fonction, asymptote oblique, horizontale, verti
MessagePublié: 04 Nov 2010, 23:47 
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Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
Lionel,

Continuons ton calcul jusqu'au bout,









Donc ton asymptote oblique d'équation y = mx + p a finalement pour équation :

y = +infini

A quoi cela rime-t-il ?

Eh bien cela signifie que lorsque x tends vers +/-infini, y lui tend vers +infini. Ca veut simplement dire que ta courbe file vers le haut à mesure que x augmente vers de tres grandes valeurs ou diminue vers des valeurs tres negatives.

Et pour preuve regarde à quoi ressemble ta courbe :

Image

Dernière remarque, tu vois que lors du calcul d'une asymptote oblique, si le terme m est nul, alors cela revient au calcul d'une asymptote horizontale. Donc lorsqu'on obtient m = 0, on s'arrête directement et on conclut qu'il n'y a pas d'asymptote oblique.

Ultime remarque : est un cas indéterminé !! Quand tu ontiens un tel résultat, il faut lever l'indétermination par un artifice de calcul.

Voila tout.

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 Sujet du message: Re: étude de fonction, asymptote oblique, horizontale, verti
MessagePublié: 05 Nov 2010, 19:55 
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Inscrit le: 02 Nov 2010, 14:26
Messages: 24
Hello Emmanuel,

J'ai qd même un petit soucis au niveau de ma dérivé seconde je n'arrive pas aux bonnes concavités.

Peux-tu me dire si la réponse que j'obtiens pour la dérivé seconde est correcte?



Voici qd même ma dérivé première au cas où:



Je fais mon tableau récapitulatif des signes et j'obtiens des concavités positives partout?? mais j'ai bien n'existe pas en -2 et 1 et mon min en -1/2, j'ai aussi les bonnes croissances et décroissances donc je pense que ca bloque pour la dérivé seconde...

AHhhh j'ai réussi à mettre les équations convenablement :P

Merci et bonne soirée,

Lionel


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