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 Sujet du message: Le problème du producteur de banane
MessagePublié: 07 Mai 2010, 22:14 
Hors-ligne

Inscrit le: 07 Mai 2010, 22:09
Messages: 3
Bonjour à tous,

Voilà, pour une fois, c'est très rare, je connais la réponse mais j'aimerais comprendre le développement mathématique de cette énigme très connue et très amusante :

"Un producteur de bananes est confronté a un problème délicat : Il a produit 3000 bananes et doit les vendre sur un marché situé à 1000 km. Il dispose pour cela d’un éléphant qui peut porter 1000 bananes au maximum mais qui consomme en continu 1 banane au km (c’est-à-dire, qu’en par exemple 3/7 km, cet éléphant consomme 3/7 de banane) Quel est le nombre maximum de bananes que peut amener ce producteur au marché, sachant qu’il peut disposer des tas intermédiaires sur le chemin?"

Voici le raisonnement sans utiliser les maths:

* L'éléphant part avec 1000 bananes, et fait 200 km il pose 600 bananes et refait le trajet inverse avec les 200 bananes qui lui reste
* il reprend 1000 bananes et refait les 200 km et pose 600 bananes (il en a donc 1200 par terre) et refait le trajet inverse avec les 200 bananes restantes
* il prend les 1000 bananes restantes fait les 200 km prend 200 bananes par terre et fait 333 km de plus, il pose 334 bananes et repart en sens inverse avec les 333 bananes restantes
* il prend alors les 1000 bananes restantes et repart, arriver au kilomètre 533 il mange une banane et ramasse les 333 bananes restantes (et en porte alors 1000).
* Grâce à la banane qu'il vient de manger il peut faire 1 km de plus, et se retrouve au kilomètre 534 avec 1000 bananes.
* Il peut alors faire les 466 km restant et arrive donc à destination avec 534 bananes !

Voici une autre façon pour la résoudre: La stratégie est la suivante: transporter les 3000 kgs jusqu'à une distance telle que, à la fin de l'opération, il reste juste 2000 kgs. Ensuite transporter ces 2000 kgs jusqu'à une distance telle que, à la fin de cette opération, il reste juste 1000 kgs. Finir le voyage avec ce seul chargement.

Voici le développement en utilisant les math:

Traduction mathématique:
=====================
On peut montrer qu'une stratégie optimale pour porter le maximum de bananes sur (n+1) Km est de porter d'abord un max de bananes au nième Km, puis de porter ces bananes du Km n au Km (n+1) (par plusieurs allers-retours). On peut alors trouver la relation entre U(n+1) et U(n).
C'est là un problème connu dont voici un algorithme donnant une solution optimale:
L'éléphant fait d'abord des allers-retours entre le point de départ et le km 1 de façon à transporter toutes les bananes au km 1. Puis il recommence entre le km 1 et le km 2 et ainsi de suite .... Nous allons donc utiliser "les suites définies par une relation de récurrence" pour résoudre cette énigme

Si Un est le nombre de bananes ainsi transportées au km n, on a:
U0 = 3000
U(n+1) = Un-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1
(ceil désigne l'entier immédiatement supérieur)

Avec une calculette ou Excel on trouve U1000 = 534 bananes.

Pouvez-vous soit m'aider à comprendre la formule qu'on a utilisé ici: "U(n+1) = Un-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1" car je ne la comprend pas ou soit me l'expliquer avec une autre méthode mathématique car j'aimerais arriver à trouver la solution grâce aux mathématiques.

Je vous remercie d'avance de m'avoir lu ainsi que l'aide dont vous me fournirez. Un tout grand merci d'avance.


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 Sujet du message: Re: Le problème du producteur de banane
MessagePublié: 14 Mai 2010, 10:34 
Hors-ligne

Inscrit le: 07 Mai 2010, 22:09
Messages: 3
Bonjour à tous,

Pourriez-vous répondre à ma question et non mettre une réponse qui n'a rien à voir avec le sujet, svp?

J'ai trouvé dans d'autres sites ce qui a permis de trouver la formule mais je comprend pas comment on est passé de:

"Conditions:
1) si U(n)<=1001 , alors un seul voyage suffit pour transporter le stock restant ( grace à l'astuce de la banane mangée avant de partir )
et donc
U(n+1)=U(n)-1 ( une banane perdue par km parcouru )

2) si 1001<U(n )<=2002 , il faut 2 voyages minimum ( toujours avec la banane avant le depart , deux fois de suite ).
et on retrouve donc
U(n+1)=U(n)-3 ( une banane perdue à chaque km sur deux aller et un retour )

3) enfin si 2002<U(n) il faut 3 voyages et
U(n+1)=U(n)-5 ( trois allers et 2 retours )"

à cette formule qui permet de satisfaire ces trois conditions en une seule écriture "U(n+1)=U(n)-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1"

Ensuite pouvez-vous me dire comment on calcule cette formule:
"U(n+1)=U(n)-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1"
si possible avec excel sinon par calcule écrit?

Un tout grand merci d'avance.


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 Sujet du message: Re: Le problème du producteur de banane
MessagePublié: 16 Mai 2010, 13:56 
Hors-ligne

Inscrit le: 07 Mai 2010, 22:09
Messages: 3
Bonjour à tous,

On m'a enfin donné une réponse par mail et la formule précédente est fausse, je vous explique comment on a trouvé la nouvelle formule:

Voici une formule qui généralise toutes les conditions:

1001*i > ou = U(n) (=) i > OU = U(n)/1001 (ici on ne change pas le signe de l'inéquation car 1001 est positif)

Or i appartient à l'ensemble des naturels {0,1,2,3...., (i-2),(i-1),i} et indique le nombre de voyages pour transporter le plus de bananes au km n.

Donc on peut réécrire ces conditions par la formule suivantes:
i = ceil(U(n)/1001) = arrondi.sup(U(n)/1001;0)
(le ";0" indique qu'on demande un nombre appartenant à l'ensemble des naturels)

Maintenant pour résoudre cette énigme on va utiliser la formule suivante:
U(n+1)= U(n)-2*i+1

Or nous connaissons la valeur de i.

Il suffit de la remplacer dans l'équation: U(n+1) = U(n)-2*ceil(U(n)/1001)+1
On peut aussi l'écrire: U(n+1) = U(n)-2*arrondi.sup(U(n)/1001)+1

Pour vous montrer qu'elle est vraie essayons de répondre aux questions suivantes:

1)combien de bananes au maximum le planteur pourra t-il placer sur le marché avec 5000 bananes?
2)reprendre la même question avec 3000, 10000 bananes, 15000 bananes et 25000 bananes
3) calculer le coefficient de perdition pour chaque cas. Après ça, que peut-on conclure quant au coefficient de perdition lorsque le nombre de bananes augmente?

Réponse:
1) Si nous avons 5000 bananes = U(0) et que nous calculons cette suite sur excel ou sur une calculette vous obtiendrez, U(1000)= 788

Avec Excel vous mettez dans la case A1, la valeurs de U(0)
Puis dans la case A2 vous mettez: =A1-2*arrondi.sup(A1/1001;0)+1
Ensuite, vous allez en bas à droite de la case A2, ça se transforme en petite croix noir, et vous faites un cliquer-glisser jusqu'à A1001

2) A) avec 3000= U(0), on aura U(1000)=534
B) avec 10000, on aura U(1000)= 1400
C) avec 15000, on aura U(1000)= 2012
D) avec 25000 bananes, on aura U(1000)= 3406

3) D'abord le coefficient de perdition (CP) c'est le nombres de bananes consommées par l'éléphant sur le nombre de bananes produites:

A) avec 5000 bananes: CP = 5000-788/ 5000 (=) CP = 4212/5000
B) avec 3000 bananes: CP = 3000-534/ 3000 (=) CP = 2466/3000
C) avec 10000 bananes: CP = 10000-1400/ 10000 (=) CP = 8600/10000
D) avec 15000 bananes: CP = 15000-2012/ 15000 (=) CP = 12988/15000
E) avec 25000 bananes: CP = 25000-3406/ 25000 (=) CP = 21594/25000

Par contre est-ce que quelqu'un a une idées pour la conclusion du CP? Êtes-vous d'accord avec ce que j'ai mis?

Un tout grand merci d'avance


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