Forum de Discussion Mathématique

Il y a plusieurs mois que j'essaie de trouver une explication ultra claire à cette enygme qui en fait n'en est pas réellement une pour un ami a moi, et je ne sais plus comment lui expliquer.

Voici la question:

Me trouvant face à un mur a une distance 2 mètre, si je dis que j'avance vers ce mur en ligne droite pas à pas, et que chaques pas sont égals à la moitié de la distance qui me reste à parcourir, en combiens de pas vais-je toucher au mur? Si quelqu'un peut me donner une explication tres détaillée de la réponse, j'aimerais plusieurs avis ou exemples, je serai vraiment très reconnaissant si mon ami fini par comprendre le principe.

Bonjour Sportdriver

Voici une réponse à ton énigme,

Commençons par une illustration



Nommons x la distance qui sépare le bonhomme du mur.
Alors si le bonhomme fait chaque fois un pas de la moitié de la distance restante nous aurons:

Distance parcourue après le premier pas : x/2
Distance parcourue après le second pas : x/2 + distance restante/2 = x/2 + (x/2)/2 = x/2 + x/4
Distance parcourue après le 3ème pas : x/2 + x/4 + distance restante/2 = x/2 + x/4 + x/8
Distance parcourue après le 4ème pas : x/2 + x/4 + x/8 distance restante/2 = x/2 + x/4 + x/8 + x/16
Distance parcourue après le 5ème pas : x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + x/32
Distance parcourue après le 6ème pas : x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + x/32 + x/64
= x.(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) = x.(63/64) = 0,984x

Tu vois qu'après 6 pas, en sommant la distance parcourue lors de chaque pas, on obtient une distance parcourue de 0,984x. Si tu fais le meme calcul pour un très très très grand nombre de pas, tu dois obtenir un résultat très très très proche de la distance totale x. Cependant, tu n'arriveras jamais exactement à x puisque tu devras toujours rajouter la moitié de la distance restante (donc une fraction de x). De plus, on sait que la moitié de la moitié de la moitié ... de quelque chose est toujours différent de zéro.

Conclusion : le nombre de pas que devra faire ton bonhomme pour atteindre le mur est infini. Cela ne signifie pas que la distance est infinie. Non ! la distance a parcourir est bien x. Mais le nombre de pas à faire, lui, est bien infini. Ca lui apprendra à faire des jeux débiles à ce bonhomme !

Ce type d'exercice peut s'énoncer comme une suite géométrique de raison 1/2.
Voici les trois premiers termes de la suite :





Le terme U1 correspond à la distance parcourue après le premier pas.
La somme U1 + U2 correspond à la distance parcourue après le second pas.
La somme U1 + U2 + U3 correspond à la distance parcourue après le 3ème pas.
La somme U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 + ... + Un correspond à la distance x si n tend vers l'infini. Or n est le nombre de pas réalisés ! Ce qui confirme que notre bonhomme devra marcher un nombre de pas infini pour atteindre le mur.

Ce qui s'écrit comme suit en terme de limite :



Bonne soirée,

Merci beaucoup pour cette reponse. Je crois que ca peut pas etre plus clair.
Tout le monde comprends ce principe a part peut-etre mon ami. Mais il reste persuadé qu'il doit partir du mur pour faire l'opération inverse et ainsi trouver la premiere plus petite distance qui sera la derniere dans l'autre sens. Il croit que l'infini petit a une fin. Mais bon, merci encore pour le temps passé sur mon probleme.