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 Sujet du message: famille de fonctions: fonctions exponentielles : e^kx
MessagePublié: 22 Nov 2010, 19:25 
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Inscrit le: 23 Sep 2010, 15:04
Messages: 11
Bonjour,
J'ai quelques pbs avec le sujet qui suit :
Pour tout entier relatif k, on note fk la fonction définie sur R par fk(x) = (x+1)e^kx.
On note Ck la courbe représentative de fk
1°) a)Quelle est la nature de la fonction f0 ?
Déterminer par le calcul les points d’intersection de C0 et C1 .Vérifier que, pour tout k, la courbe
Ck passe par ces points.
2°)Etudier, suivant les valeurs de x le signe de (x+1)(e^(x) - 1).En déduire les positions relatives de Ck et Ck+1.
3°)On suppose que k est non nul.
a)Calculerf’k(x) pout tout x reel
b)En déduire le sens de variation de la fonction fk (distinguer les cas : k< 0 et k>0)

Où j'en suis : question 1 ok
Question 2 :signe de l'expression (x+1)(e^(x) - 1) ok : + de -1 à – infini et de 0 à + infini et – de -1 à 0
j'ai fait f(k+1)(x)-f(k)(x) sans aboutir concrètement !!
Question 3 : le signe de f '(k)(x) est celui de -1-1/k, (e^kx étant tj positif), mais je suis incapable de poursuivre !!, comment déduire le sens des variations de f(k)(x) en fonction du signe de -1-1/k ??
Merci à tous pour votre aide


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 Sujet du message: Re: famille de fonctions
MessagePublié: 22 Nov 2010, 19:39 
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Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
Bonsoir,

Je te recommende d'utiliser l'éditeur d'équation parce que tes fonctions sont difficiles à lire.

S'agit-il de la fonction suivante :



Ou de la suivante :



Pareil pour la suite.

S'agit-il de



ou de


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 Sujet du message: Re: famille de fonctions
MessagePublié: 22 Nov 2010, 21:36 
Hors-ligne

Inscrit le: 23 Sep 2010, 15:04
Messages: 11
Bonsoir,
Il s'agit de (x+1).(e^x+1)
Désolé


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 Sujet du message: Re: famille de fonctions
MessagePublié: 22 Nov 2010, 21:38 
Hors-ligne

Inscrit le: 23 Sep 2010, 15:04
Messages: 11
Décidément, ...
Je disais :(x+1).(e^x-1), et (x+1)e^kx (exp kx)


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 Sujet du message: Re: famille de fonctions
MessagePublié: 22 Nov 2010, 22:47 
Hors-ligne
Site Admin

Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
Ok merci,

Donc pour la question 2)...

Nous allons considérer les deux fonctions suivantes:



et









On nous demande à présent de déduire la position relative de Ck et Ck+1. Cela signifique que nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles la courbe Ck se trouve au-dessus de Ck+1, en-dessous de Ck+1 et sur Ck+1 (les courbes se croisent).

Alors

si fk+1 -fk > 0 c'est que Ck+1 est au-dessus de Ck,
si fk+1 -fk < 0 c'est que Ck+1 est en-dessous de Ck,
si fk+1 -fk = 0 c'est que Ck+1 coupe Ck (ou alors que les deux courbes sont confondues).





(1)

Etudions à présent le signe de cette équation (1).

Nous avons trois facteurs. e^(kx) sera toujour positif et non nul. Nous pouvons donc l'éliminer de notre étude de signe car il n'intervient pas dans la variation du signe.

Nous revenons donc à l'étude de signe de la fonction proposée dans la question 2, à savoir :

(2)

Nous allons d'abord étudier le signe de (x + 1) puis celui de (e^(x) - 1) et ensuite le signe globale de la fonction (2).
Le tout doit être présenté dans un tableau de signe que je te laisse le soin de confectionner.

Signe de (x+1) :

Voici le graphique de cette fonction,

Image

La fonction a une valeur négative pour x<-1, positive pour x>-1, et nulle pour x = -1.

Signe de (e^(x) - 1) :

Si x tend vers l'infini, alors (e^(x) - 1) tend aussi vers l'infini.
Si x=0, alors e^0=1 et (e^(x) - 1)=0.
Si x tend vers -infini, alors e^x tend vers 0 et (e^(x) - 1) = -1.

Nous savons donc maintenant que

Si x>0 alors (e^(x) - 1)>0,
Si x<0 alors (e^(x) - 1)<0,
Si x = 0 alors (e^(x) - 1) = 0

Et le graphique suivant prouve que nos calculs sont justes,

Image

Il faut faire à présent le tableau de signe récapitulatif comme suit,

première rangée : x : -infini , -1 , case vide, 0 , +infini
deuxième rangée : (x+1) : signe de cette fonction
troisième rangée : (e^(x) - 1) : signe de cette fonction
quatrième rangée : (x+1).(e^(x) - 1) : signe de la fonction globale.

Observe les valeurs de x que j'ai placées dans la première rangées. Ce sont toutes les valeurs de x qui annulent la fonction (x+1) ainsi que les valeurs qui annulent (e^(x) - 1). Il faut une case vide entre ces valeurs afin de pouvoir observer le signe de la fonction globale entre ces deux valeurs.

Conclure sur la position relative de Ck et Ck+1.

Ca ira ? Pas d'autres soucis pour cette question 2). ?

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 Sujet du message: Re: famille de fonctions: fonctions exponentielles : e^kx
MessagePublié: 22 Nov 2010, 23:25 
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Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
Concernant la question 3)...

la derivée de fk donne ceci:



Donc le signe de la dérivée dépend uniquement du signe de (1 + kx + k) puisque l'autre facteur est toujours positif et non nul.

Il faut donc réaliser l'étude du signe de (1 + kx + k) pour k positif et ensuite pour k négatif.

Rappel :

Si la dérivée première est positive --> f ' (x) > 0, c'est que la fonction f est croissante sur l'intervalle de x considéré.
Si la dérivée première est négative --> f ' (x) < 0, c'est que la fonction f est décroissante sur l'intervalle de x considéré.
Si la dérivée première est nulle --> f ' (x) = 0, c'est que nous nous trouvons sur un extremum (maximum ou minimum) pour la valeur de x considérée.

Ca ira pour la suite du raisonnement ?

Cordialement,

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 Sujet du message: Re: famille de fonctions: fonctions exponentielles : e^kx
MessagePublié: 23 Nov 2010, 08:00 
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Inscrit le: 23 Sep 2010, 15:04
Messages: 11
SSSSSuper, vraiment sympa ....bonne journée,
Merci


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 Sujet du message: Re: famille de fonctions: fonctions exponentielles : e^kx
MessagePublié: 23 Nov 2010, 14:14 
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Inscrit le: 19 Mar 2009, 20:46
Messages: 146
De rien, avec plaisir.

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